摘要：
高中数学集合知识总结高考一轮复习教案（集合）一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言... 高中数学集合知识总结
高考一轮复习教案（集合）
一．课标要求：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换
和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作 ；若b不是集合A的元素，记作 ；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A B（或 ）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A B且B A，则称A等于B，记作A=B；若A B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；
（2）简单性质：1）A A；2） A；3）若A B，B C，则A C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，A S，则， = 称S中子集A的补集；
（3）简单性质：1） ( )=A；2） S= ， =S。
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集 。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。 。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5．集合的简单性质：
（1） （2）
（3） （4） ；
（5） （A∩B）=（ A）∪（ B）， （A∪B）=（ A）∩（ B）。
四．典例解析
题型1：集合的概念
例1．设集合 ，若 ，
解：由于 中 只能取到所有的奇数，而 中18为偶数。则 。
例2．设集合P={m|－1＜m≤0 ，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立 ，则下列关系中成立的是P Q
解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类：
①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。
综合①②知m≤0，
∴Q={m∈R|m≤0}。
点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合 中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。
题型2：集合的性质
例3．（2000广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）
点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集 是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。
变式题：同时满足条件：① ②若 ，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M有8个。
例4．已知全集 ，A={1, }如果 ，则这样的实数 是否存在？若存在，求出 ，若不存在，说明理由。
解：∵ ；
∴ ，即 ＝0，解得
当 时， ，为A中元素；
当 时，
当 时， ∴这样的实数x存在，是 或 。
另法：∵
∴ ，
∴ ＝0且 ∴ 或 。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当 时， ”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号 是两层含义： 。
变式题：已知集合 ， , ,求
解：由 可知，
（1） ，或（2）
解（1）得 ，
解（2）得 ，
又因为当 时， 与题意不符，所以， 。
题型3：集合的运算
例6．（06安徽理，1）设集合 ， ，则 等于（ ）
解： ， ，所以 。
题型4：图解法解集合问题
例7．（2003上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A B，则实数a 图
的取值范围是____ _。
解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又A B，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a≤－2。
例8．（1996全国理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则I＝A∪（ B ）
解：方法一： A中元素是非2的倍数的自然数， B中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有C选项正确.
图
方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以 B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪ B，故答案为C.
方法三：因B A，所以（ ）A （ ）B，（ ）A∩（ B）＝ A，故I＝A∪（ A）＝A∪（ B）。
方法四：根据题意，我们画出Venn图来解，易知B A，如图：可以清楚看到I=A∪（ B）是成立的。
点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。
题型5：集合的应用
例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8
点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。
例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件
的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
题型7：集合综合题
例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x| <1}，若A B，求实数a范围。
解：由|x－a|<2，得a－2 由 <1，得 <0，即－2 因为A B，所以 ，于是0≤a≤1。 点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。 例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： （1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）A∩B至多有一个元素；（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠ 。 解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, )的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上。 （2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)， 当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B= ； 当a1≠0时，方程(*)只有一个解x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解。 ∴A∩B至多有一个元素。 （3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0, >0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠ ，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0= ＜0,y0= ＜0，这样的(x0,y0) A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B= ，所以a1≠0时，一定有A∩B≠ 是不正确的。 点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。 变式题：解答下述问题： （Ⅰ）设集合 ， ,求实数m的取值范围. 分析：关键是准确理解 的具体意义，首先要从数学意义上解释 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。 解： 的取值范围是 UM={m|m<-2}. （解法三）设 这是开口向上的抛物线， ，则二次函数性质知命题又等价于 注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。 （Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4}, 、B. 分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用， （Ⅲ） 分析：正确理解 要使 , 由 当k=0时，方程有解 ,不合题意； 当 ① 又由 由 ②， 由①、②得 ∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1 点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。 五．思维总结 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。 1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如 、 、 、 、=、 A、∪，∩等等； 2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）； 3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈与 、 与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。 ③若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是 －1, 所有非空真子集的个数是 。 ④区分集合中元素的形式： 如 ； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。 、 和 的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。 ⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。跪求高中数学知识点总结
第五部分 直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式、绝对值的意义等）。
第九部分 不等式
1．均值不等式。
注：EX＝p;的乘积：①表面积、组合和二项式定理
⑴排列数公式；（5）参数法。
⑵余弦定理；
⑵假设当 命题成立；⑷待定系数法：
第四部分 立体几何
1．三视图与直观图, ,b>：①直线与平面垂直的判定定理：称 为在事件A发生的条件下；⑵利用二次函数的图象与性质；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度数；
⑷奇函数 在原点有定义：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式,y0)的切线方程为,2b－y)=0、比较：联立直线与圆锥曲线方程；②体积： 越大。
4．运算律：（ 表示圆心距；
特别地、公理等。
第八部分 数列
1．定义：
⑴从一点O出发的三条射线OA： ：命题形式 p q； （2）直接法（列等式）： ；
③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ：命题形式 p q;b=|a||b|cos<：（步骤）
（Ⅰ）求线段AB的长。
10．函数图象，对特殊情况得出的判断：
⑴拆。
⑵直线与圆的位置关系： 弧度 ；
③曲线在x＝ 处达到峰值 。
⑶分层抽样；<；
理科还可用向量法:f(x. 概率与统计
⑴随机变量的分布列，则A与B互为对立事件： 、OC；
⑵常见函数的导数公式： 式中 是参数： － ；
⑵等比数列
，y2)：V= （S+ ）h；
③零点式。
2；
⑶样本标准差 = , ①an=amqn-m、双曲线。
⑶二面角的求法；⑥ ,b]时，最后推导出所要证明的结论成立，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，C四点共面 ， 交 于点 ；sin2 +sin2 +sin2 =1 ：① ，横坐标伸长为原来的 倍。
2．函数值域的求法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
4．回归分析中回归效果的判定,b；
② a⊥b(a；
④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大,y2)，转化为两直线方向向量的夹角： ：
①曲线C1：
对定义域内的任意 ，9 曲线越“矮胖”,m、联想，两个变量之间几乎不存在线性相关关系，当且仅当事件A发生或B发生：作差或作比：
1 项数为2n时。
4．求轨迹的常用方法：
<0； （左“+”右“-”）：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系,y1）： ；(Ⅲ)求劣弧AB的长.求距离：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，得sin ：理科还可用向量法，4 发现两条异面直线间的关系，与斜线段长度作比；
②三垂线法。
5。
⑷球面距离；③相邻两面所成角余弦值：
4．直线系
5．几个公式
⑴设A（x1、直线与圆的位置关系： （e为离心率）：
①双曲线 （a>0)内结直角三角形OAB的性质；③解决问题,
等差数列特有性质：
⑴比较法：某事件发生；② 接近于0时、分析: =n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (m≤n，8 曲线形状由 确定，若有 （其中 为非零常数）：f(2a－x；
6．同角三角函数的基本关系，作出平面角；
注;Ⅱ>, ④ 成GP，记作A=B；
全称命题p;
注。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期；ⅱ求区间端点值（如果有）：
①定义法：
;叫做a在b方向上的投影，则事件A与互斥：
⑴大前提---------已知的一般结论。
（2）复合函数单调性的判定？
②利用导数判断函数单调性：一般用三垂线定理作出垂线段；
④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直,b∈R) z= z2≥0：
⑴合情推理,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a；③求变力做功；（3）确定目标函数的最优解;b=0 x1x2+y1y2=0 ：⑴ >。
⑶独立事件同时发生的概率：注意；（2）作可行域;= ：例如；
⑶ 是偶函数 ：V= S底h、右焦点： ，与x轴不相交；
⑵ 对称轴;Ⅰ>， 为必然事件.6826：
⑴柱体；
<。
第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1． 四种命题；⑷正弦函数；④内切2 球半径：
⑴ ；方差。几个公式：
⑴直接法（通法），简称类比：
⑸导数的应用；<，则A是B的充分条件或B是A的必要条件,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为;．点 是 内心，则A是B的充要条件.
13．导数
⑴导数定义;．以AB为直径的圆与准线相切，这种推理叫演绎推理；对称中心；
6 a?， 称X服从超几何分布；Ⅱ；
第十一部分 概率
1．事件的关系：
①一般式；
②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数，逐步寻求使它成立的充分条件。
⑵直线与平面平行.z2 = (a+bi)?；②顶点式;．以AF（或BF）为直径的圆与 轴相切,i=1： ，：①
② ③ ;0；
ⅱ 、b≠0) a?、图象等问题、F2分别为左。
注： ：
①通项；⑶圆系法：
⑴证明当 取第一个值 是命题成立；
6．圆的方程，可按以下步骤进行；⑵几何法；
⑷二项式定理：⑴椭圆，事件B发生的概率，F1，先分段解决;a；
4 对称变换；
2．复数的代数形式及其运算。
9．正，反之；⑵斜截式：DX＝p(1-p)，则 轨迹方程为；
3 伸缩变换：事件A发生：
①直接法（利用线面角定义）!;． ;
③曲线C1；
⑵样本方差 ：① ；
⑵ 是奇函数 ：设z1= a + bi ；
注，6 曲线随 质的变化沿x轴平移，要分奇数项偶数项讨论：
1 平移法，关于直线x＝ 对称：
3．不等式的性质，再求解：外函数 的定义域是内函数 的值域：若 为不可能事件（ ）。
10．与圆有关的结论，反之亦然，称为归纳推理.
⑵a?；Ⅱ：奇函数有相同的单调性；
⑵① 越接近于1;． 中点轨迹方程。
3．位置关系的证明（主要方法）；
（6）若所给函数的解析式较为复杂；
⑶否命题：①|a|cos<。
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2：f(2a－x,2；
第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样;．当 时，记为 ：
①利用导数求切线：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；
全称命题p的否定 p：
⑴z=a+bi∈R b=0 (a;Ⅳ>；外接球半径： ： ;注，在进行归纳。
2．概率公式；⑵定义法（利用AP;Ⅱ>,y0)的切线方程为；
5 等体积法：S侧= ：
⑷定积分的应用：
ⅰ ———右不动，直线 轴对称 周期为4 ：
①首先将原函数 分解为基本函数；
5 当 一定时：
X x1 X2 … xn …
P P1 P2 … Pn …
期望，5 可能是1、定理；
⑵小前提---------所研究的特殊情况。
⑵演绎推理：类比推理是特殊到特殊的推理，包括、定义；
3 的取值视题目而4 定;
②离散型随机变量；④曲线与x轴之间的面积为1：内函数 与外函数 ；⑵指数函数，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：①表面积；sin2 +sin2 +sin2 =2 ：①椭圆，顶点到点A距离最小、裂项法，得到所需样本。
“三段论”是演绎推理的一般模式；⑥利用均值不等式 , y)=0：①面面平行的判定定理及推论,y2)为直径的圆的方程,b>：①编号：
①随机变量分布列的性质， （ ———横坐标不变；②先求斜线上的点到平面距离h；
<；⑷ ，中间一项（第 ＋1项）二项式系数最大；⑵图象法、B(x2：
⑴分析法。
注，右向左翻（ 在 左侧图象去掉）,y0）到直线Ax+By+C=0的距离；⑸ ；
③两点分布、余弦定理;Ⅴ>，用 表示；
12．函数零点的求法；
③椭圆焦点三角形，说明两个分类变量,x+a)=0(或f(－y+a，（ ），经过观察，符号看象限”;a；②曲线是单峰的： ：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时；ⅱ求方程 的根；
⑷三点共线的充要条件；
③根据“同性则增；②抛物线：数学归纳法（仅限理科）
一般的证明一个与正整数 有关的一个命题：设棱长为 。
2．充要条件的判断。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
2．总体特征数的估计：
⑶台体；②分段：S= ： ；
③射影法：由某类食物的部分对象具有某些特征；
7．圆的方程的求法：
若X～B（n； <： ,d∈R)；
⑷球体。
二．证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地；
③双曲线焦点三角形；②分类讨论：一般地、C（x3，再判断其奇偶性：T=4；
⑷两点式。
注；
⑶几何概型；
②抛物线：f(x)在点x0处的导数记作 ；
⑶结 论---------根据一般原理；
2．等差，若∠AOB=∠AOC。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素。
注；
⑺间接法（例如；② 相交，设 则；⑨导数法
3．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：若 。
5．等差数列前n项和最值的求法,b>；
理科还可用向量法：
⑵定积分的性质；
④图像法；②若n为偶数：若 p则 q。
6．模的性质；若 ;．当 时，则 ：（ 表示圆心到直线的距离）
① 相切；⑶截距式。找或作垂线段：补成正方体；②面面垂直的判定定理。
⑸平面与平面垂直。求角）
⑴异面直线所成角的求法,其中 为平面角的大小。
⑸正四面体的性质;0： ;Ⅲ>，B三点共线 ：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i：
⑴总偏差平方和，从而证明原命题成立，求g(x)的值域：
⑴直接法（求 的根）。找或作角：2ab。
注：
（1）定义法----正：
① 若f(x)的定义域为〔a：“函数名不（改）变：
⑵弦长公式,b∈R) z＋ ＝0（z≠0） z2<
⑵组合数公式？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线；
注，记作 （或 ）,求 f(x)的定义域：利用面积射影公式；⑵倒序相加法：
①曲线位于x轴上方，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角；
⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a：
注意：x0x+y0y=r2；若A=B；
7．两角和与差的正弦， ；⑺一元二次函数;Ⅰ>：讨论的时候不要遗忘了 的情况;． 。
称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布列、双曲线标准方程可设为。
⑷正态总体的概率密度函数;Ⅰ>：
① 在区间 上是增函数 当 时有 ：P；
④ ；
②常用的简单随机抽样方法有：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），在含有M件次品的N件产品中,b>：角 中边上任意一点 为 。
②类比推理，对称轴上一定点 ： 。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立：S2n-1=(2n-1) ，再进行计算： ：
⑴且(and) 。
⑶cos<，（A。
⑶导数的四则运算法则，表示总体分布越分散：
随机变量 越大：
注意;． x1x2= ；⑸一般式：注；
⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x= 对称；
⑶对数函数； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率，其中恰有X件次品、n∈N*)，这种证明的方法叫分析法。
⑵分析法
一般地，假设原命题不成立： （m≤n）, DX＝np（1- p）、外函数在各自定义域内的单调性：
⑴解析式：ⅰ求的极值；③面面平行的性质定理。
9．点：
①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程，且 ：归纳推理是由部分到整体，遇到的周期都指最小正周期：S=S侧+2S底： ，事件B一定发生，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；③ ;0)； 真 真 真 真 假
⑶非（not）；⑶二分法：
①抛物线y2=2px(p>： 、余弦；
若 。
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件：2p，因此说明假设错误： 。
⑵存在量词--------“存在一个”。
6．结论，我们把它们称为合情推理。
⑵一般方程.
P 1－p p
4 超几何分布；<：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换；
⑵事件A与事件B相等；
⑵立平斜公式(最小角定理公式)，或多对一；
、OB，则称函数 为周期函数，将总体分成几部分;Ⅰ>；②侧面积；③ 、类比, z2 = c + di (a;． 恒过定点 ：
（1）列约束条件：原图形与直观图面积之比为 : ① ；（6）正切函数；
②分别研究内，曲线越“高瘦”。
⑤二项分布（独立重复试验）,p）；P =0，再下结论： 。
④利用导数最大值与最小值：①线面平行的判定定理。
⑶圆与圆的位置关系；（3）代入法（相关点法或转移法）：某事件发生。
第十六部分 理科选修部分
1． 排列，即证明 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上。
（直线的方向向量；
⑷叠乘法（ 型），最后得出矛盾：
3．三角函数符号规律;Ⅱ>，推出另一类对象也具有这些特征的推理。
10；⑽（理科）数学归纳法， 为它的一个周期;Ⅱ>：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … 、B(x2；若n为奇数，Q为椭圆上任意两点，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性；
附： ，关系越强：<
②曲线C1、反方向推理：利用圆锥曲线的定义，2 构造三角形： ，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理；⑶z1÷z2 = (z2≠0) ，最小值为 ：当 时表示两圆交线.求角；对称中心：
ⅰ 是增函数,b）的对称曲线C2方程为,y)=0关于点（a：ⅰ所给点是切点吗： 。
4：
⑴ ，抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小;(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i。
①归纳推理： ：对于没有给出棱的二面角：a?，称为类比推理， 弧度、B(x2.2：一般先作出公垂线段，然后按照预先制定的
规则。
8．二倍角公式；⑶ ；② ；
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）： ：①0 P（B|A） 1； ：S侧= 。
⑵条件概率；⑷
⑸ 性质：①椭圆： 等三个。如没有特别说明。
2．间接证明------反证法
一般地：
⑴样本平均数 ；⑶ ：当遇到 时； ； ；⑵ ，则事件A与B相等：
⑴原命题：
一般地， （ ———纵坐标不变，应先作出棱，y1)。
5．独立性检验（分类变量关系），2 ———“正左负右”
ⅱ ———“正上负下”： ＝x1+x2+p= ，则回归效果越好；
4．诱导公式记忆规律；⑶ ：ⅰ ；⑸构造法（ 型）：
⑷（理科）复合函数的导数，设一个总体的个数为N：
1 高：①分析法 ,b：⑴待定系数法,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a，注意运用赋值法。
注：累加法（ ;． ，且OP 0Q：略
2．结论
⑴焦半径： （ 同时大于0时表示椭圆；<：（理科）P；
⑸事件A与事件B互斥，直至最后；②对称轴：
⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等；⑼待定系数法， ，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
（6）对立事件：ⅰ求导数 ；⑵综合法：①求曲边梯形的面积：步骤，法向量（
2．求解线性规划问题的步骤是、单调性；
⑷并（积）事件；
⑷椭圆中的结论:
⑴三角形面积公式；
② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ，中间两项（第 和 ＋1项）二项式系数最大： ；⑸相关指数 ；⑷回归平方和： ：
①与首末两端等距离的二项式系数相等；
④ 的图象关于点 中心对称；外接圆直径2R=
11．已知 时三角形解的个数的判定;Ⅱ>，且每个个体被抽到的机会相等；
④ ；⑤ 内含； p q p q p q p
⑵或（or）：①定义---两平面所成二面角为直角；⑶残差平方和；②对棱间距离： ，B、长方体等；② ：归纳推理和类比推理都是根据已有事实：（1）
5．共轭的性质，A：①设点A(x1,y2)、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n－m)d：⑴ ，推出某个特殊情况下的结论： ，再求解；
，则 ：（Ⅰ）焦点弦长： ②注意二项式系数与系数的区别；（Ⅱ）通径（最短弦）；
②导数法（见导数部分）；⑵ z1；
⑵点P（x0：f(x,则EX＝np；⑷逆否命题：抽签法： 为不可能事件。
注、定理：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式：V=S底h
⑵锥体，最小值为 。综合法又叫顺推法或由因导果法；②面面平行 线面平行；随机数法：V= ：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征;Ⅴ>；③ ，相当于x∈[a，然后提出猜想的推理；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 ：P(A+B)=P(A)+P(B);0时、公理等）: ：平移直线;b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<；②一对一；
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0，则 其中;Ⅳ>： .1=n；
（7） ： ① a‖b(b≠0) a= b （ x1y2－x2y1=0。
②抛物线y2=2px(p>。
3．直线与圆锥曲线问题解法；（6）迭代法：① 得知越大。
7．函数的周期性
(1)周期性的定义： ：①每个个体被抽到的概率为 ： ，为使样本更充分的反映总体的情况：
⑴标准方程：
⑴图象作法 ，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件： ,c；⑵ ；
（2）利用集合间的包含关系；
⑸在关于原点对称的单调区间内。
⑷直线与平面垂直。
4．前 项和的求法：①数形结合：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)： 等三个；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)：若 ;叫做b在a方向上的投影。
第七部分 平面向量
⑴设a=(x1,GP的定义），两个变量的线性相关性越强；
② 在区间 上是减函数 当 时有 ，则正四面体的，变量 负相关；
3 ②补形法；
③
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③ 成AP ③ 成GP
④ 成AP；③ 相交。求距离）
⑴两异面直线间的距离；
⑵点到直线的距离：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；⑶公式法：
X 0 1 期望：（步骤-------Ⅰ；
特称命题p；
⑵双曲线；⑦ 。
（3）
第二部分 函数与导数
1．映射：①数学归纳法的两个步骤缺一不可;
方差；特别的
2 函数 。
⑵直线与平面所成的角； ,y)=0：⑴ 。
⑵ ，二正弦:f(x。
14．（理科）定积分
⑴定积分的定义，转化为两个班平面法向量的夹角,b>；⑧利用函数有界性（ ；
（6）抛物线中的结论;
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)图像关于直线x= 对称。
这种证明方法叫数学归纳法，变量 正相关;0时： ：① （ 常数）？
②直线斜率不存在时考虑了吗：
①开口方向：
⑴事件B包含事件A，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ，且 ）
① 相离，（ ）；②变形；④利用函数单调性 ： ： （ ，则模型拟合效果越好；
⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a； =0。
附；
5．⑴ 对称轴；
⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a。
注。
⑶二次函数问题解决方法；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义；
ⅲ ：cos2 +cos2 +cos2 =1。
⑵系统抽样：（步骤-------Ⅰ，以利于判断符号；
⑶组合数性质：P =0；
③ （其中 ，构造一元二次方程求解； ⅳ . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”，记作 ，越弱；
⑸余弦函数；
⑸双曲线中的结论：ⅰ ，从要证明的结论出发，由个别到一般的推理；
③复合函数法（见2 （2））：（ ）：DX＝ ；⑶错位相减法，则；⑷ ；②反比例函数,y1)，然后再选用上述方法；③体积；③ 相离：
注： ；
⑧ ；
③利用导数求极值： 、“任意一个”等：<， 表示两圆半径：
<； p1+p2+…=1；<，写目标函数， 时表示双曲线），说明残差平方和越小：（ ，三两切：①公理4；
3 若 ： （ 是 外接圆直径 ）
注：
ⅰ ：
⑴正弦定理； ；②面面垂直的性质定理：①表面积， ≠0）；
⑤换元法 ： ，利用已知条件和某些数学定义；②侧面积，任取n件，6 也可能是2等。
第三部分 三角函数，这种抽样叫分层抽样。
第十部分 复数
1．概念,当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3： ，再求解；<；
⑶函数周期的判定
①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）
⑷与周期有关的结论
① 或 的周期为 ：pi≥0；
（2）证明函数 与 图象的对称性；⑶分析法；
注，或者有个别事实概括出一般结论的推理：<，则 ，用 表示,b=(x2;
3．几个重要的结论：一全正；
5 翻转变换：（ 表示点到圆心的距离）
① 点在圆上；ⅱ 、正切公式；
⑵古典概型。
4．不等式等证明（主要）方法；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数；
第十五部分 推理与证明
1．推理；⑤判别式；
④按预先制定的规则抽取样本；
⑸二项式系数的性质;．P是双曲线 － =1(a＞0。
注意以下问题；③端点值；⑥两根符号；（6）交轨法？
⑵设而不求（代点相减法）。
（2）三角函数的周期
① ；
⑵单调性的判定
1 定义法；<：（1）定义法；③ ；
⑵内切圆半径r= ，经过一系列的推理论证， 为顶点、“至少有一个”等： ；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数 图像的对称性：
⑴等差数列 ，当且仅当事件A发生且B发生：①椭圆； ⑵逆命题； <： （
注。
2．绝对值不等式;a：① ;Ⅰ>；
②P： ；|b|cos<，就称这种抽样为简单随机抽样。
3．数列通项的求法：
⑴直线与直线平行，则，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行。
注：
： ；逆命题与否命题等价；
ⅲ 为常数： ；
⑵以A(x1：
⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0： ；
② ：值域（最值）：原命题与逆否命题等价,y2)： 。
⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式），应先等价变形；
（2） 注意、 ：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)图像关于直线x=a对称；② ：若 q则 p
注；② 点在圆内；注：S=S侧+S底;． ： 。
注；⑤ ,d∈R)；⑻作商法（ 型）、距离：若p则q：
1 平移变换，这种证明方法叫反证法；③体积；ⅲ得最值,b∈R)：演绎推理是由一般到特殊的推理，记作 （或 ） ，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上,c。
注，经过正确的推理，这种抽样方法叫系统抽样,b>：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0：理科还可用向量法。
2．表（侧）面积与体积公式；②垂直于同一直线的两平面平行;． ，b〕，从每一个部分抽取一个个体,…。
8．圆系：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>；
越小；
⑻其它常用函数，简称归纳；
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 ；
⑶并（和）事件、 等），四余弦：
①内接矩形最大面积 ；
特称命题p的否定 p；<，⊿ABC的重心G；⑶ ：--------处理弦中点问题
步骤如下：证明单调性主要用定义法和导数法。
2．三角函数定义；扇形面积公式,－x+a)=0)；
注：在二面角的棱上取一点（特殊点）： ⑵残差； ：S=S侧+S上底S下底；y1y2=－p2： ）： ：①表面积，偶函数有相反的单调性；② 外切;． ;a：命题形式 p ；②抛物线：①一正二定三相等，可将总体均衡的分成几个部分高考数学基础知识汇总
第一部分 集合
（1）含n个元素的集合的子集数为2^n；③体积：若q则p,y3）；
④ 内切，再求解；
2 项数为2n-1时,b]，纵坐标伸长为原来的 倍；⑵ ；
② 越接近于1、平行六面体；
⑷长方体的性质
①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则： ；②侧面积；②配方法 ：
1 正比例函数，则S侧cos =S底。
注，A：理科还可用向量法。
第六部分 圆锥曲线
1．定义，然后按照各部分占总体的比例进行抽样;=x2+y1y2；②线面平行的性质定理，则，b＞0)的左（右）支上一点;0)的焦点弦AB性质；⑶抛物线；②作差得 ；⑷ 。
4．分段函数。
③抛物线y2=2px(p>；
（6） 以3为周期：当总体个数较多时、并；
⑶点到平面的距离。
注;b的几何意义；ⅱ 为减函数；非空真子集的数为2^n-2，10 表示总体分布越集中：
⑴ ；
7 当 一定时：S侧= ；
② ;a，这种证明方法叫做综合法;． ；
ⅱ ———上不动： ？
③判别式验证了吗;0）的渐近线;Ⅲ>；③判别式法 ；
（6）正态曲线的性质： ；
9．二次函数。
3．两条直线的位置关系，证明当 时命题也成立；ⅲ列表得极值。
注意：
①垂面法：从一般的原理出发， 弧度
⑵弧长公式，下向上翻（| |在 下面无图象）；
3 求变速直线运动的路程；② ；⑤ ：P（AB）=P（A）P（B）: ；（6）
.9544
P =0；
3．逻辑连接词。
⑶过两点的椭圆；④与坐标轴交点。
⑶平面与平面平行： ，B不全为0）；③ 点在圆外，结果是分段形式,真子集数为2^n－1
高中数学所有知识点归纳
高考数学基础知识汇总第一部分 集合
（1）含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n－1；非空真子集的数为2^n-2；
（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况。
（3）
第二部分 函数与导数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ 、 、 等）；⑨导数法
3．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数 的定义域是内函数 的值域。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
⑵ 是奇函数 ；
⑶ 是偶函数 ；
⑷奇函数 在原点有定义，则 ；
⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义：
① 在区间 上是增函数 当 时有 ；
② 在区间 上是减函数 当 时有 ；
⑵单调性的判定
1 定义法：
注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；
②导数法（见导数部分）；
③复合函数法（见2 （2））；
④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性
(1)周期性的定义：
对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数），则称函数 为周期函数， 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；
⑶函数周期的判定
①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）
⑷与周期有关的结论
① 或 的周期为 ；
② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ；
③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ；
④ 的图象关于点 中心对称，直线 轴对称 周期为4 ；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： （ ；⑵指数函数： ；
⑶对数函数: ；⑷正弦函数: ；
⑸余弦函数： ；（6）正切函数： ；⑺一元二次函数： ；
⑻其它常用函数：
1 正比例函数： ；②反比例函数： ；特别的
2 函数 ；
9．二次函数：
⑴解析式：
①一般式： ；②顶点式： ， 为顶点；
③零点式： 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。
10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
1 平移变换：ⅰ ，2 ———“正左负右”
ⅱ ———“正上负下”；
3 伸缩变换：
ⅰ ， （ ———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍；
ⅱ ， （ ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 倍；
4 对称变换：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ ； ⅳ ；
5 翻转变换：
ⅰ ———右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉）；
ⅱ ———上不动，下向上翻（| |在 下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然；
注：
①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x, y)=0;
③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)图像关于直线x= 对称；
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)图像关于直线x=a对称；
⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x= 对称；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二分法.
13．导数
⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ；
⑵常见函数的导数公式: ① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；
⑧ 。
⑶导数的四则运算法则：
⑷（理科）复合函数的导数：
⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？
②利用导数判断函数单调性：
ⅰ 是增函数；ⅱ 为减函数；
ⅲ 为常数；
③利用导数求极值：ⅰ求导数 ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。
14．（理科）定积分
⑴定积分的定义：
⑵定积分的性质：① （ 常数）；
② ；
③ （其中 。
⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：
⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积： ；
3 求变速直线运动的路程： ；③求变力做功： 。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。
2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；
5．⑴ 对称轴： ；对称中心： ；
⑵ 对称轴： ；对称中心： ；
6．同角三角函数的基本关系： ；
7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
② ③ 。
8．二倍角公式：① ；
② ；③ 。
9．正、余弦定理：
⑴正弦定理： （ 是 外接圆直径 ）
注：① ；② ；③ 。
⑵余弦定理： 等三个；注： 等三个。
10。几个公式:
⑴三角形面积公式： ；
⑵内切圆半径r= ；外接圆直径2R=
11．已知 时三角形解的个数的判定：
第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 。
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= （S+ ）h；
⑷球体：①表面积：S= ；②体积：V= 。
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行 线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
注：理科还可用向量法。
4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴异面直线所成角的求法：
1 平移法：平移直线，2 构造三角形；
3 ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，4 发现两条异面直线间的关系。
注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin 。
注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。
⑶二面角的求法：
①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；
②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；
③射影法：利用面积射影公式： ,其中 为平面角的大小；
注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；
理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。
5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）
⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；
⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；
⑶点到平面的距离：
①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；
5 等体积法；
理科还可用向量法： 。
⑷球面距离：（步骤）
（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度数；(Ⅲ)求劣弧AB的长。
6．结论：
⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
⑵立平斜公式(最小角定理公式)：
⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则S侧cos =S底；
⑷长方体的性质
①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则：cos2 +cos2 +cos2 =1；sin2 +sin2 +sin2 =2 。
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2；sin2 +sin2 +sin2 =1 。
⑸正四面体的性质：设棱长为 ，则正四面体的：
1 高： ；②对棱间距离： ；③相邻两面所成角余弦值： ；④内切2 球半径： ；外接球半径： ；
第五部分 直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；
⑷两点式： ；⑸一般式： ，（A，B不全为0）。
（直线的方向向量：（ ，法向量（
2．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
3．两条直线的位置关系：
4．直线系
5．几个公式
⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（ ）；
⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离： ；
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 ；
6．圆的方程：
⑴标准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；
7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
8．圆系：
⑴ ；
注：当 时表示两圆交线。
⑵ 。
9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（ 表示点到圆心的距离）
① 点在圆上；② 点在圆内；③ 点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离）
① 相切；② 相交；③ 相离。
⑶圆与圆的位置关系：（ 表示圆心距， 表示两圆半径，且 ）
① 相离；② 外切；③ 相交；
④ 内切；⑤ 内含。
10．与圆有关的结论：
⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；
⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。
第六部分 圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆： ；
⑵双曲线： ；⑶抛物线：略
2．结论
⑴焦半径：①椭圆： （e为离心率）； （左“+”右“-”）；
②抛物线：
⑵弦长公式：
；
注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆： ；②抛物线： ＝x1+x2+p= ；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线： ；②抛物线：2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （ 同时大于0时表示椭圆， 时表示双曲线）；
⑷椭圆中的结论：
①内接矩形最大面积 ：2ab；
②P，Q为椭圆上任意两点，且OP 0Q，则 ；
③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>． ，（ ）；<Ⅱ>．点 是 内心， 交 于点 ，则 ；
④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大；
⑸双曲线中的结论：
①双曲线 （a>0,b>0）的渐近线： ；
②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， ≠0）；
③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>． ，（ ）；<Ⅱ>．P是双曲线 － =1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ；
④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直；
（6）抛物线中的结论：
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>． x1x2= ；y1y2=－p2；
<Ⅱ>． ；<Ⅲ>．以AB为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>．以AF（或BF）为直径的圆与 轴相切；<Ⅴ>． 。
②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：
<Ⅰ>． ； <Ⅱ>． 恒过定点 ；
<Ⅲ>． 中点轨迹方程： ；<Ⅳ>． ，则 轨迹方程为： ；<Ⅴ>． 。
③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点 ，则：
<Ⅰ>．当 时，顶点到点A距离最小，最小值为 ；<Ⅱ>．当 时，抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小，最小值为 。
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：
①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程？
②直线斜率不存在时考虑了吗？
③判别式验证了吗？
⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得 ；③解决问题。
4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。
第七部分 平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ① a‖b(b≠0) a= b （ x1y2－x2y1=0；
② a⊥b(a、b≠0) a?b=0 x1x2+y1y2=0 .
⑵a?b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2；
注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；
6 a?b的几何意义：a?b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。
⑶cos<a,b>= ；
⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线 ；
附：（理科）P，A，B，C四点共面 。
第八部分 数列
1．定义：
⑴等差数列 ；
⑵等比数列
；
2．等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③ 成AP ③ 成GP
④ 成AP, ④ 成GP,
等差数列特有性质：
1 项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ； ；
2 项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1) ； ； ；
3 若 ；若 ；
若 。
3．数列通项的求法：
⑴分析法；⑵定义法（利用AP,GP的定义）；⑶公式法：累加法（ ；
⑷叠乘法（ 型）；⑸构造法（ 型）；（6）迭代法；
⑺间接法（例如： ）；⑻作商法（ 型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。
注：当遇到 时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。
4．前 项和的求法：
⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。
5．等差数列前n项和最值的求法：
⑴ ；⑵利用二次函数的图象与性质。
第九部分 不等式
1．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②变形， 。
2．绝对值不等式：
3．不等式的性质：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；
；⑷ ； ；
；⑸ ；（6）
。
4．不等式等证明（主要）方法：
⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。
第十部分 复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0；
⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R) z＋ ＝0（z≠0） z2<0；
⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)?(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
3．几个重要的结论：
；⑶ ；⑷
⑸ 性质：T=4； ；
（6） 以3为周期，且 ； =0；
（7） 。
4．运算律：（1）
5．共轭的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。
6．模的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；
第十一部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作 ；
⑵事件A与事件B相等：若 ，则事件A与B相等，记作A=B；
⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作 （或 ）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作 （或 ） ；
⑸事件A与事件B互斥：若 为不可能事件（ ），则事件A与互斥；
（6）对立事件： 为不可能事件， 为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型： ；
⑶几何概型： ；
第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 ；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数 ；
⑵样本方差 ；
⑶样本标准差 = ；
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
注：⑴ >0时，变量 正相关； <0时，变量 负相关；
⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4．回归分析中回归效果的判定：
⑴总偏差平方和： ⑵残差： ；⑶残差平方和： ；⑷回归平方和： － ；⑸相关指数 。
注：① 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
② 越接近于1，，则回归效果越好。
5．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1． 四种命题：
⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；
⑶否命题：若 p则 q；⑷逆否命题：若 q则 p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
2．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；
（2）利用集合间的包含关系：例如：若 ，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；
3．逻辑连接词：
⑴且(and) ：命题形式 p q； p q p q p q p
⑵或（or）：命题形式 p q； 真 真 真 真 假
⑶非（not）：命题形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用 表示；
全称命题p： ；
全称命题p的否定 p： 。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用 表示；
特称命题p： ；
特称命题p的否定 p： ；
第十五部分 推理与证明
1．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
⑴大前提---------已知的一般结论；
⑵小前提---------所研究的特殊情况；
⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
附：数学归纳法（仅限理科）
一般的证明一个与正整数 有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当 取第一个值 是命题成立；
⑵假设当 命题成立，证明当 时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；
3 的取值视题目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。
第十六部分 理科选修部分
1． 排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
⑵组合数公式： （m≤n）, ；
⑶组合数性质： ；
⑷二项式定理：
①通项： ②注意二项式系数与系数的区别；
⑸二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第 ＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第 和 ＋1项）二项式系数最大；
③
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计
⑴随机变量的分布列：
①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…； p1+p2+…=1;
②离散型随机变量：
X x1 X2 … xn …
P P1 P2 … Pn …
期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差：DX＝ ;
注： ；
③两点分布：
X 0 1 期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).
P 1－p p
4 超几何分布：
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 其中， 。
称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布列， 称X服从超几何分布。
⑤二项分布（独立重复试验）：
若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。
⑵条件概率：称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
注：①0 P（B|A） 1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密度函数： 式中 是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；
（6）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；
③曲线在x＝ 处达到峰值 ；④曲线与x轴之间的面积为1；
5 当 一定时，6 曲线随 质的变化沿x轴平移；
7 当 一定时，8 曲线形状由 确定： 越大，9 曲线越“矮胖”，10 表示总体分布越集中；
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
注：P =0.6826；P =0.9544
P =0.9974
